Gregori Perelman

Un matemático fuera de serie

El Instituto Matemático Clay propuso siete problemas matemáticos. Sólamente hay uno resuelto hasta ahora, por Gregori Perelman: la conjetura de Poincaré. Su forma de resolverlo supone en sí­ mismo un hito cientí­fico histórico.

El máximo remio en el campo de las matemáticas es la Medalla Fields (no existe Premio Nobel en ese campo por razones históricas). En 2006 esa medalla fué otorgada a Gregori Perelman por haber resuelto la Conjetura de Poincaré. Perelman rechazó la medalla porque considera el premio completamente irrelevante para él. Si su demostración es correcta – según él – otra forma de reconocimiento no es necesaria. Por otra parte afirma no estar interesado en dinero o fama, y mucho menos en “ser mostrado como un animal en un zoo”. La Conjetura de Poincaré era una de los siete problemas del Milenio, los problemas más difíciles y a su vez más relevantes del campo de las matemáticas. Cualquier resolución de ellos se estima incluso como un hito histórico. El único hasta ahora resuelto es la Conjetura de Poincaré que ha resultado ser un subproblema de la Conjetura de Geometrización de Thurston. Perelman ha demostrado mucho más que un “problema del milenio”. El 18 de marzo del 2010 fue anunciado que Perelman recibiría el millón de dólares por haber resuelto un Problema del Milenio. Este julio el matemático rechazó este premio también por considerar que no se han valorado suficientemente los logros de otro matemático, Richard Hamilton, en la resolución del problema, y porque en general considera injustas las decisiones tomadas por la comunidad matemática organizada: “Naturalmente hay muchos matemáticos que son más o menos honestos. Pero prácticamente todos ellos son conformistas. Son más o menos honestos, pero toleran aquellos que no lo son.” No había ocurrido nunca que alguien rechazase la Medalla Fields y en el caso del Premio del Milenio ha sido el primero en ganarlo y el primero en rechazarlo. Lo que Grigori Perelman ha dejado claro es que no quiere ser considerado como uno de de los matemáticos conformistas y denuncia la corrupción científica existente. La conjetura está relacionada con una rama de las matemáticas que se llama topología. Lo que estudia son las propiedades cualitativas de ciertos objetos llamados “espacios topológicos” bajo determinadas transformaciones llamadas “continuas”. Para la topología una taza con asa y un donus son equivalentes, porque lo que importa es que los dos objetos se pueden transformar de forma continua el uno al otro. De forma continua en este contexto significa intuitivamente que pequeños cambios tienen pequeños efectos. La cantidad de agujeros en un objeto geométrico es por ejemplo una invariante topológica, porque no se pueden cambiar mediante transformaciones continuas. Antes de proseguir uno puede preguntarse ¿qué interés tiene la topología? Este campo no tiene aplicaciones inmediatas, pero crea un lenguaje que permite estudiar y describir estructuras geométricas en términos muy generales. Por ejemplo: al estudiar propiedades de materiales se observa que a veces lo que importa no es la forma o la composición de un material, sino sus propiedades topológicas. Dentro del campo de las matemáticas, la topología es completamente fundamental. La lógica y la teoría de conjuntos son el fundamento de prácticamente todas las matemáticas. La topología se puede considerar como una simbiósis de la teoría de conjuntos y la geometría. Es extremadamente útil en todos los campos, porque utiliza la intuición geométrica que todos tenemos y a su vez logra mediante pocos axiomas un lenguaje que es aplicable a multitud de objetos matemáticos. La conjetura de Poincaré era uno de los problemas de la topología más importantes no resueltos: Supongamos que tenemos un espacio que localmente es como el espacio euclídeo, o sea como la idea intuitiva que tenemos de espacio, pero que globalmente pueda tener otras propiedades (una variedad). Si además suponemos que el espacio tiene ciertas propiedades matemáticas bastante generales (conexo, sin frontera, de un tamaño finito y cualquier curva cerrada se puede contraer hacia un punto), entonces este espacio es topológicamente una esfera. La conjetura de Poincaré era uno de los mayores problemas no resueltos en el campo de la topología. Han pasado cien años hasta que Grigori Perelman ha resuelto no sólamente este problema, que ha resultado como un caso particular, sino se ha resuelto también la conjetura de Thurston, que implica mucho más. En matemáticas y también en física ha resultado muy útil considerar espacios diferentes al euclídeo, es decir diferentes a la intución de espacio que tenemos. Una generalización de este concepto es una variedad. Este concepto es bastante abstracto, pero para hacerse uno una idea, es un espacio que localmente es como el espacio euclídeo, pero globalmente puede tener otras propiedades. Un ejemplo de esto es la superficie de una esfera. Localmente parece plana. Sobre la Tierra hay que irse “lejos” para darse cuenta de que no es plana. Otro ejemplo de variedad es nuestro Universo. En cosmología no sabemos exactamente que forma tiene el Universo, lo que sí sabemos es que localmente es euclídeo (Minkowski), pero globalmente lo más seguro es que no. Gregori Perelman lo que ha conseguido es probar la conjetura sobre la geometrización de Thurston, que incluye a la conjetura de Poincaré como caso particular. Lo que implica es que se puede clasificar cualquier variedad (compacta) de tres dimensiones. En particular permite descomponer cualquier variedad de este tipo en subvariedades con estructuras geométricas. Esto es un resultado muy importante para la geometría diferencial. La geometría diferencial es una rama de las matemáticas muy importante como lenguaje para espacios curvos y trata también las superficies mínimas. Estas superficies son tales que como indica su nombre minimizan el área. En la descripción de membranas biológicas son importantes, ya que muchas veces éstas son superficies mínimas. Una de las claves en la demostración de Perelman ha sido lo que se llama “flujo de Ricci”: La ecuación del calor tiene una propiedad particular y es que “suaviza” las diferencias de temperatura. Si hay una habitación con diferentes temperaturas, lo que ocurre es que se tiende al equilibrio. Los métodos del flujo de Ricci son similares a estructuras geométricas. Por ejemplo si uno quiere tratar con geometrías muy complicadas, pero no puede, lo que hace es aplicar este flujo, porque “suaviza” las zonas problemáticas. El trabajo de Perelman está influenciando fuertemente la investigación en el campo de la geometría diferencial. Entre otras cosas porque todavía se está tratando de comprender su trabajo y los métodos que ha utilizado hasta el resultado mismo. Lo que está claro es que Perelman es un matemático totalmente fuera de serie.

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