Ciencia

La Conjetura de Poincaré (I)

El Instituto Matemático Clay en el 2000 propuso siete problemas matemáticos. Sólamente hay uno resuelto hasta ahora por Gregori Perelman: la conjetura de Poincaré. Su forma de resolverlo tiene consecuencias para la investigación actual.

Esta conjetura está relacionada con una rama de las matemáticas que se llama toología. Lo que se estudia ahí son las propiedades cualitativas de ciertos objetos llamados espacios topológicos bajo determinadas transformaciones llamadas continuas. Para la topología una taza con asa y un donus son equivalentes, porque lo que importa es que los dos objetos se pueden transformar de forma continua el uno al otro. De forma continua en este contexto significa intuitivamente que pequeños cambios tienen pequeños efectos. La cantidad de agujeros en un objeto geométrico es por ejemplo una invariante topológica, porque no se pueden cambiar mediante transformaciones continuas. Antes de proseguir uno puede preguntarse ¿qué interés tiene la topología? Este campo no tiene digamos aplicaciones inmediatas, pero lo que hace es crear un lenguaje que permite estudiar y describir estructuras geométricas en términos muy generales. Por ejemplo al estudiar propiedades de materiales se vé que a veces lo que importa no es la forma o la composición de un material, sino sus propiedades topológicas. Dentro del campo de las matemáticas, la topología es completamente fundamental. La lógica y la teoría de conjuntos son el fundamento de prácticamente todas las matemáticas. La topología se puede considerar como una simbiósis de la teoría de conjuntos y la geometría. Es extremadamente útil en todos los campos, porque utiliza la intuición geométrica que todos tenemos y a su vez logra mediante pocos axiomas un lenguaje que es aplicable a multitud de objetos matemáticos. La conjetura de Poincaré era una de los problemas de la topología más importantes no resueltos. Consiste en afirmar lo siguente. Supongamos que tenemos un espacio que localmente es como el espacio euclídeo, osea como la idea intuitiva que tenemos de espacio, pero que globalmente pueda tener otras propiedades (una variedad). Si además suponemos que el espacio tiene ciertas propiedades matemáticas bastante generales (conexo, sin frontera, de un tamaño finito y cualquier curva cerrada se puede contraer hacia un punto), entonces este espacio es topológicamente una esfera. Esta conjetura ha sido demostrada como caso particular de una conjetura más general, la conjetura de la geometrización de Thurston. Qué importancia y qué consecuencias ha tenido ésto, veremos en el próximo artículo.

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