De los números complejos a la distribución de números primos

¿Demostrada la hipótesis de Riemann?

Recientemente el matemático británico Atiyah dice haber demostrado la hipótesis de Riemann, uno de los 7 problemas del milenio. Se ha armado mucho revuelo y han salido muchas noticias acerca de ello, pero en la gran mayoría de artículos no se explica cuál es esa hipótesis. ¿Cuál es esa hipótesis y qué importancia tiene?

La hipótesis de Riemann es uno de los grandes problemas matemáticos no resueltos. El gran matemático alemán David Hilbert en 1900 formuló una lista de los 23 problemas matemáticos más importantes no resueltos y la hipótesis de Riemann era uno de ellos. Como anécdota, se le preguntó a Hilbert que haría si se despertase después de dormir 500 años y él contestó que preguntar si había sido demostrada esa hipótesis.

¿Si Hilbert despertase ahora qué habría que responderle? Aunque el matemático Michael Atiyah es un matemático distinguido, que tiene la Medalla Fields y el Premio Abel, dos premios de máxima categoría en el ámbito de las matemáticas, como dos tipos diferentes de Premios Nobel, hay diferentes expertos que tienen serias dudas de la demostración. El tiempo dirá. Mientras tanto tratemos de entender un poco de qué va el asunto.

El problema de la hipótesis de Riemann es uno de los llamados 7 problemas del milenio. A quien resuelva uno de ellos le esperan un millón de dólares, pero probablemente eso sea lo de menos en comparación con el hecho de entrar para siempre en el olimpo de los grandes matemáticos.“Los números primos son importantes para la encriptación de datos “

Pero a parte de ser uno de los grandes problemas no resueltos, ¿qué tiene de importante para ser considerado como un problema interesante?

En primer lugar porque une dos campos bastante diferenciados de las matemáticas. El campo de los números complejos y el de los números primos. Antes de valorar más en profundidad la importancia vayamos al problema. La razón por la cual en las noticias no se explica en qué consiste la hipótesis de Riemann es porque es algo técnica. La hipótesis caracteriza el conjunto de valores para los que una función compleja determinada dan cero.

La función zeta de Riemann como serie infinita de valores complejos

Esa función determinada es la llamada función zeta de Riemann y es una serie infinita que depende de una variable compleja llamada s. Dicho de otra manera la pregunta a resolver es, para qué valores de s la llamada función de Riemann da cero.

Se sabe desde hace tiempo que para cualquier número par negativo (es decir -2, -4, -6 etc.) la función de Riemann da cero y a ese conjunto de números se le denomina trivial, porque digamos que es la parte fácil de comprobar. Lo que interesa caracterizar a los matemáticos ahora son los demás números que también hacen que la función de Riemann de cero y a ese conjunto de números se les llama los no triviales.

Las variables complejas tienen que ver con los números imaginarios que tienen la característica de que si se multiplican por si mismo dan un número negativo. Si el lector no conoce los números complejos no pasa nada. Son una extensión de los números reales y fueron ideados justamente para poder tratar con las raíces cuadradas de los números negativos.“Con la hipótesis de Riemann se tendría información sobre la distribución de los números primos”

Por ejemplo la raíz cuadrada de 4 es 2, porque 2 por 2 son 4. ¿Cuál es la raíz cuadrada de -1? La respuesta es un símbolo y se denota por i, con i de imaginario. Aunque parezca un poco extraño al principio, al final acaba siendo un número más y se definen las operaciones usuales de suma, resta etc.

Cualquier número complejo tiene su parte real y su parte imaginaria y lo que la hipótesis de Riemann caracteriza es la parte real. Con exactitud la hipótesis dice que ¨la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2¨.

La función zeta de Riemann como producto infinito de números primos

Por otra parte se sabe que la función zeta de Riemann, no sólo se puede expresar como serie infinita de números complejos sino también como un producto infinito de números primos. De aquí proviene también la importancia de la hipótesis. Si se cumple la hipótesis de Riemann se tendría una información importante sobre la distribución de los números primos.

Recuerde el lector que los números primos son aquellos, que sólo tiene dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos tienen muchas aplicaciones prácticas. Una de ellas es la encriptación de datos. Es una operación sencilla multiplicar dos números primos, aunque sean muy grandes. Sin embargo dado un número muy grande es muy difícil factorizarlo en los números primos que lo componen. Fácil multiplicar, difícil factorizar. En eso se basa la encriptación. Difícil significa que se requiere demasiado tiempo, para poder hacer la desencriptación.

Por otra parte se han utilizado los ordenadores para comprobar la hipótesis de Riemann y hasta ahora todos los números que se han encontrado la cumplen, pero eso no es ninguna demostración. ¿Qué son muchísimos números en comparación con el infinito? Evidentemente nada y de ahí la importancia de la demostración. Haya sido encontrada ahora o no.

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