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Prácticamente todo el mundo ha oído hablar en algún momento de las leyes de Newton o de alguna generalización de éstas como la relatividad o la mecánica cuántica. Sin embargo un hecho poco conocido es que para el desarrollo por ejemplo de la mecánica cuántica han sido fundamentales las formulaciones de Lagrange y de Hamilton de la mecánica clásica.
La rincipal razón seguramente es que estas formulaciones no representan una física nueva al ser formulaciones equivalentes a la de Newton. Utilizando el lenguaje de Kuhn pertenecen a un desarrollo de la ciencia “normal” al estar impregnadas del paradigma de la mecánica clásica. No añaden fenómenos físicos nuevos a la física newtoniana. Aun así supusieron un gran avance, porque aunque las leyes de movimiento de Newton son en cierta manera una descripción completa de la mecánica clásica hay diferentes razones para preferir una formulación diferente. Una es que la ecuación de Newton es vectorial y los vectores son objetos matemáticos complicados de transformar en sistemas de coordenadas exóticos. Además utilizar las leyes de Newton requiere conocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema mecánico explícitamente cuando en la práctica uno muchos veces describe una fuerza implícitamente por sus efectos, es decir constriñendo por ejemplo la trayectoria de una partícula a estar sobre la superficie de una esfera. Otra razón es que describe el movimiento localmente en términos de la aceleración local causada por la fuerza local y en determinadas ocasiones una descripción global es necesaria. Las leyes de Newton no dan luz sobre la estrucura matemática de la mecánica clásica y no sirven como punto de partida para una cuantización de un sistema clásico. Tampoco son adecuadas para describir un sistema clásico que no consista de partículas como por ejemplo el campo electromagnético. La formulación de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) de la mecánica da una caracterización global y sin necesidad de coordenadas de la trayectoria clásica y además permite una comprensión profunda del origen de leyes de conservación asociadas a simetrías. Permite ver de una manera muy simple que a cada simetría le corresponde una ley de conservación. Por ejemplo si existe una simetría temporal, es decir que la interacción física en cuestión no depende del tiempo, entonces existe una cantidad conservada que se llama energía y así con cualquier otra simetría. Un elemento clave fue la introducción de lo que se llaman coordenadas generalizadas, es decir un conjunto de variables que describen los grados de libertad de un sistema, que no tienen que ser necesariamente las coordenadas espaciales “normales” de un sistema. Por ejemplo si pensamos en un péndulo (rígido) que está en un plano (bidimensional), éste sólo tiene un grado de libertad, porque sólo puede oscilar de un lado a otro. Las ecuaciones se simplifican mucho, si en vez de utilizar dos coordenadas en el plano se utiliza sólo una: el ángulo que forma el péndulo respecto a la situación de equilibrio. Por otra parte la formulación de William Rowan Hamilton (1805-1865), desarrollo de la de Lagrange, revela la estructura matemática de la mecánica clásica que es la llamada geometría simpléctica y permite una interpretación elegante de la evolución temporal de un sistema físico en base a flujos. Además tiene la ventaja de que las ecuaciones resultantes son de primer orden a diferencia de las de Lagrange que son de segundo orden. Hamilton consideraba que el análisis de Lagrange “sólo podría describirse como un poema científico”. Lo mismo puede decirse sobre el trabajo de Hamilton, que se podría considerar como la mecánica clásica llevada a su máximo grado de desarrollo teórico. Las dos formulaciones permiten una generalización inmediata a campos en vez de partículas y a diferencia de la formulación de Newton permiten ser generalizadas a la estructura de la mecánica cuántica. Sería demasiado técnico entrar en detalles, pero para hacerse una idea trabajan con el llamado principio de mínima acción en vez de con fuerzas. El principio de mínima acción postula como su propio nombre indica que entre todas las trayectorias posibles entre dos puntos en el espacio la naturaleza elige el que minimiza una cantidad llamada acción. Absolutamente toda la mecánica (teórica) se puede deducir de este principio. Más allá de comprender los detalles de estas formulaciones, lo importante es ver que el desarrollo de la ciencia “normal”, en este caso una labor puramente teórica o matemática, que en si misma no hace ninguna predicción física nueva, puede contribuir o ser decisiva para poder hacer cambios paradigmáticos. En este caso la formulación de Hamilton ha sido fundamental como estructura físico- matemática para el desarrollo de la mecánica cuántica y también la mecánica estadística. Intentos recientes de “cuantizar” la gravedad, es decir de unificar la estructura teórica de la cuántica y la relatividad general también se basan en esta formulación. Que la formulación sea tan “flexible” o general para conseguir este objetivo está por ver.