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La estabilidad juega un papel fundamental en diferentes ramas de las matemáticas. Estudiar la estabilidad de un sistema es también fundamental desde el de punto de vista físico. Lo que se hace es estudiar que pasa si uno perturba un poquito una solución de equilibrio. Si vuelve al equilibrio, entonces es una solución estable, si no lo hace, no lo es (se diferencia entre estabilidad lineal y no lineal dependiendo del tipo de perturbaciones que se hacen).
Este tio de análisis hacen también que la física sea una ciencia robusta. Muchas veces soluciones inestables carecen de interés físico. Uno de los más sencillos ejemplos es el movimiento del péndulo. Tiene dos soluciones de equilibrio, que son los casos en que el péndulo se encuentra en posición vertical. Una de ellas no la observamos, la del péndulo “boca arriba”. Esa situación es inestable, porque cualquier movimiento por pequeño que sea, hace que el péndulo se vaya de esa configuración y no vuelva nunca más a esa situación. Otro ejemplo sencillo es el de un lápiz que descansa sobre su punta. Esa situación también es de equilibrio inestable y no se da en la realidad. De ahí que el análisis de estabilidad de una solución sea importante como un criterio de su relevancia práctica y no sólo eso, también puede dar información sobre qué pasa con el sistema si está fuera de equilibrio. El análisis de estabilidad ha jugado un papel importante en cosmología desde el principio. Según Albert Einstein uno de sus mayores errores fue la introducción de la llamada constante cosmológica. Él quería modelar un Universo que fuese estático o en equilibrio y para eso era necesario introducir esa constante, lo que hizo en un artículo de 1917. Por un lado en 1929 Edwin Hubble, astrónomo estadounidense, observó que las galaxias se alejan y postuló junto a su colaborador Milton Humason una ley conocida hoy como ley de Hubble que establece que el universo se expande, por lo que el universo evidentemente no es estático. Pero por el otro Arthur Eddington, astrofísico británico, en 1930 descubrió que la solución estática de Einstein es inestable. Para que tuviese lugar el universo de Einstein, tendría que haber una densidad crítica y un “radio” del universo crítico, pero cualquier pequeña desviación haría que el universo expandiese o se contrayese, por lo que en la práctica el universo de Einstein no podría existir. En los últimos años matemáticos, que trabajan en el campo de la relatividad, han demostrado la estabilidad (no lineal) en diferentes casos. A principios de los noventa Demetrios Christodoulou, físico y matemático griego, y Sergiu Klainerman demostraron la estabilidad global (no lineal) para el espacio-tiempo de Minkowski, -el espacio-tiempo que representa el marco de la relatividad especial- en el vacío. Miráron qué pasa si se perturba ese espacio vacío un poco, lo que físicamente se puede interpretar como la introducción de ondas gravitationales. Vieron que el espacio se mantenía estable ante tales perturbaciones. Helmut Friedrich pudo ampliar ese resultado al caso de un universo con constante constante cosmológica.Más recientemente Christodoulou has mostrado que en un contexto parecido ocurre todo lo contrario. En el caso de un fluido, si uno hace perturbaciones pequeñas llegará un momento en que se formen ondas de choque (“shocks”). Por el otro lado este año Jared Speck basándose en un trabajo previo con Igor Rodnianski y en un trabajo de Hans Ringström ha mostrado que esos shocks no se forman si existe una constante cosmológica. Lo que ocurre intuitivamente es que la constante cosmológica implica expansión acelerada del universo y tiene una especia de efecto disipador, lo que impide la formación de ondas de choque. No sólo en cosmología sino también en el estudio de agujeros negros la estabilidad juega un papel importante. En 2008 Christodoulou mostró que se pueden formar agujeros negros en el vacío a partir de la focalización de ondas gravitacionales. Este resultado es bastante curioso, porque no requiere la existencia de materia para la formación de un agujero negro. A partir de este resultado que se puede considerar como uno de los más importantes acerca de agujeros negros en el terreno matemático la pregunta natural es si los agujeros negros que se forman son estables. Esto es uno de los problemas centrales abiertos en relatividad matemática. El término agujero negro fue acuñado por John Archibald Wheeler, pero soluciones de las ecuaciones de Einstein que describen a un agujero negro fueron encontradas ya en 1917 por Karl Schwarzschild, físico y astrónomo alemán, analizando las ecuaciones para el caso de simetría esférica llevado por el interés de ver cómo la relatividad general afectaría a objetos como las estrellas que tienen esa simetría. En 1923 George Birkhoff, matemático estadounidense, demostró que la solución que había encontrado Schwarzschild era única en el sentido de que no hay otras soluciones a las ecuaciones de Einstein con simetría esférica. Otro resultado importante se dió cuando Roy Kerr, matemático de Nueva Zelanda, encontró una solución que describía a un agujero negro rotando. Uno podría pensar que se podría demostrar primero la estabilidad de los agujeros negros más sencillos, que son los de Schwarzschild, pero si uno perturba un poco ese agujero negro, que es estático, cabe la posibilidad que empieze a rotar, por lo que uno está condenado a demostrar la estabilidad de Kerr. Este en un problema muy duro y según a quien se pregunte, se estima que se tardará entre 10 y 50 años en resolver.