Las Desigualdades de Cathleen Morawetz

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23-10-2017
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La matemática canadiense Cathleen Morawetz cuyas desigualdades han sido claves en el diseño de alas de aviones falleció este agosto a la edad de 94 años.
 Las Desigualdades de Cathleen Morawetz
La matemática canadiense Cathleen Morawetz cuyas desigualdades han sido claves en el diseño de alas de aviones falleció este agosto a la edad de 94 años.

Cathleen Synge nació en 1923, hija de inmigrantes irlandeses. Su padre era un físico matemático bastante conocido por su trabajo en relatividad general usando métodos geométricos. Su madre Elizabeth Eleanor Mabel Allen también estudió matemáticos pero los interrumpió cuando cuando se casó. Sin embargo fue ella, la madre quien fomentó y apoyó que su hija se dedicase a las matemáticas.

Cuando pensamos en matemáticas, nos vienen a la cabeza números y ecuaciones en el sentido de igualdades. Dos y dos son cuatro o en el teorema de Pitágoras que nos dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Sin embargo las desigualdades son una herramienta fundamental para cualquier analista matemático. Se podría decir que las desigualdades tienen la misma importancia que las igualdades. Parece que no son tan ¨exactas¨ porque no nos dicen que una cosa es igual a otra, sino es ¨sólo¨ una comparación de una cosa con otra.

En la vida real del análisis, muchas veces no se pueden solucionar los problemas con igualdades, pero se pueden hacer estimaciones que nos dan un resultado cualitativo y ahí las desigualdades son clave.

El trabajo de Morawetz se centró en el estudio del movimiento de fluidos y ondas en diferentes medios como en el agua o en sólidos. Uno de sus trabajos más notables ayudó a entender el movimiento de flujos de aire alrededor de aviones que vuelan a velocidades cercanas a la velocidad del sonido.

Morawetz no era una ingeniera que hacía aproximaciones sino trabajaba con las ecuaciones fundamentales haciendo un análisis cualitativo y riguroso.

Una desigualdad que juega un papel clave en su forma generalizada es la llamada desigualdad triangular y aseguro al lector que cualquiera, también los que no son matemáticos, utiliza la desigualdad triangular a diario.

Esta desigualdad dice que la suma de dos lados de un triángulo cualquiera es mayor que el otro lado. ¿Porqué es así? Muy simple. La razón es que entre dos puntos, la recta que los une, es siempre la distancia más corta. Cualquier otro camino será más largo. De forma intuitiva todo el mundo sabe y aplica este hecho al andar de un lado a otro. Este simple hecho es la razón de que se cumpla la importante desigualdad triangular. Siempre será más corto el camino de un punto de un triángulo al de alado que haciendo un rodeo pasando por el otro punto. Animo al lector a cerciorarse de esto haciendose un dibujo si es necesario.

La desigualdad triangular también se cumple en ¨espacios¨ matemáticos más sofisticados que nuestro mundo tridimensional. En vez de la distancia entre dos puntos en un espacio como el nuestro cotidiano, se pueden definir distancias en espacios abstractos que también cumplen la desigualdad triangular.

Vayamos ahora al trabajo de Cathleen Morawetz sobre aviones que vuelan a velocidades cercanas de la velocidad del sonido. 

Morawetz encontró que aunque el avión no vuele a velocidad del sonido, parte del aire alrededor de las alas del avión sí se vuelve supersónico. El flujo del aire a velocidades por debajo de la barrera de la velocidad del sonido es completamente diferente que a velocidades supersónicas. 

Lo que ocurre es que la mezcla de esas dos velocidades produce una onda de choque que ralentiza al avión. Los ingenieros querían evitar esas ondas de choque y crearon modelos de alas de manera que esas ondas no se produjesen obteniendo un flujo de aire ¨suave¨. 

Sin embargo Morawetz demostró matemáticamente en uno de sus trabajos que ese modelo no funcionaría, dado que cualquier perturbación, por pequeña que fuese, una pequeña imperfección en el diseño, destruiría la suavidad del flujo de aire. 

Como consecuencia el modelo de los ingenieros no tenía sentido y dejaron de construir alas que no produjesen ondas de choque. Con las conclusiones de Morawetz el objetivo que buscan ahora los ingenieros al diseñar las alas de esos aviones es de minimizar los choques de onda, en vez de eliminarlas.

¿Y todo esto que tiene que ver con la desigualdad triangular?

Las desigualdades de Morawetz las encontró ella más tarde estudiando en profundidad como se dispersan ondas al encontrarse un objeto en el camino. Encontró un método para estimar el máximo de energía de la onda cerca de un objeto en un momento dado. 

Una de las cosas que prueba esa desigualdad es que la energía de la onda se dispersa, más que concentrarse cerca de un objeto de forma indefinida. Cuando se puede estimar un máximo significa que se ha encontrado una desigualdad. La energía de la onda siempre estará por debajo de ese máximo.

La demostración matemática es demasiado compleja como para desarrollarla aquí, pero se basa en una generalización de la desigualdad triangular para espacios abstractos.

El trabajo de Morawetz es un buen ejemplo de como un análisis riguroso matemático puede ser clave para dilucidar cuestiones prácticas inmediatas.

Pero no sólo eso, sus desigualdades siguen jugando un papel importante en el análisis no-lineal. Dado que fueron establecidas en un marco abstracto han podido ser utilizadas y desarrolladas en múltiples áreas de las matemáticas con sus aplicaciones asociadas.

Se podría decir que son útiles para el análisis de fenómenos que tengan que ver con ondas, sean ondas electromagnéticas, de aire o las ondas que aparecen en la celebre ecuación de la mecánica cuántica llamada ecuación de Schroedinger.

Dados estos trabajos tan importantes, la carrera de Morawetz fue plagada de éxitos. Fue catedrática en uno de los institutos más prestigiosos del mundo para las matemáticas: el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas que está en Nueva York. Recibió numerosos premios muy prestigiosos y fue la segunda mujer que fue presidenta de la Sociedad Americana de Matemáticas. 

Al recibir el premio de la Organización Nacional de Mujeres por compaginar exitosamente su carrera con la familia, observó que probablemente se dedicó a las matemáticas porque era muy mala en los labores domésticos.

¿Cuántas Morawetz nos habremos perdido por tenerse que dedicar a ser amas de casa? Esto también corresponde a una desigualdad, en este caso social y aun queda mucho para convertirla en una igualdad.

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